然而，很明顯的是，即使不考慮 Godel 定理引發的持續爭論，許多有關數學知識及其歷史、社會和文化條件的經典假設已經受到越來越多的審查，有時是由該領域的領先實踐者進行的。 早在 830 年，Evariste Galois 被一些人認為是有史以來最偉大的數學天才（ 儘管也許是因為他在 21 歲時在決鬥中被殺），他提供了我們現在認為對心理學的驚人見解，社會的，甚至是政治的構成和數學的功能。 但 Galois 是有史以來最偉大的數學革命家之一，同時也是一位政治革命家，這一事實很可能讓他和數學付出了生命的代價 。無論如何，考慮到數學和政治的經典概念，數學和政治的結合點似乎比人們想像的要多。這些關頭有些是熟悉的，有些是陌生的，還有一些是兩者兼而有之。
不過，這裏還應該強調另一點。無論後古典理論對數學知識的基礎——尤其是哲學基礎——的批判多麼激進，它從來都不是簡單地否定那些使其從經典角度成為典範的數學方面。 如上所述，後經典理論與數學之間的關係，正如本書所代表的那樣，總體上是相當友好的。然而，這並沒有減弱當代對數學知識本質的批評的力量，也沒有減弱繼續引發這些批評的壓力。如果有的話，情況恰恰相反。因此，雖然 Brian Rotman 的文章中出現了對無限主義數學的形上學附屬物（即所有數學中的無限數字概念）的相當尖銳的質疑，但 John Vignaux Smyth 和 Arkady Plotnitsky 的貢獻表明，後經典理論和數學，包括無限主義數學不僅是兼容的，而且在其功能的某些領域甚至可能是彼此必要的 —— 例如，在科學和技術領域（如 Plotnitsky 的文章 (Complementarity, Idealization, and the Limits of Classical Conceptions of Reality) 所建議的），或者有時是相互作用的，在文學、藝術等領域，或作為一個整體的文化（正如 Smyth 所建議的那樣( A Glance at SunSet: Numerical Fundaments in Frege, Wittgenstein, Shakespeare, Beckett)）。
剛才描述的配置可以被視為後經典理論的一個關鍵特徵：也就是說，當熟悉的形上學假設受到挑戰時，它並不總是或必然是為了否認它們的相關性，而是表明該相關性的限製或相反假設的同時相關性。或者，我們可以說，這樣的假設（或者，嚴格地說，闡明它們的命題），恰恰是形上學的，是不可判定的。
在一篇實質性的介紹性文章 (Introduction: Networks and Symmetries, Decidable and Undecidable) 中，編輯們解釋了 “後經典理論 postclassical theory” 的概念，並討論了諸如湧現性 emergence 和不可判定性 undecidability 等思想在當前科學和數學工作中的意義。其他文章包括對數學思維、寫作和虛擬現實技術之間關係的詼諧考察 (Thinking Dia-Grams: Mathematics, Writing, and Virtual Reality) ；一篇文章重建了 19 世紀導致重大數學發現（或構造）的概念實踐 (Agency and the Hybrid Collectif)；討論 Niels Bohr 互補原理對經典實在觀念的影響；對作為人類和非人類 “混合 hybrid” 羣體的科學實驗室進行檢查 (Complementarity, Idealization, and the Limits of Classical Conceptions of Reality) ；對當代生物學中控制、目的和必要性隱喻的分析 (The Accidental Chordate: Contingency in Developmental Systems)； 對 Shakespeare、Frege、Wittgenstein 和 Beckett 的真理和謊言以及文字和數字的探索 (A Glance at SunSet: Numerical Fundaments in Frege, Wittgenstein, Shakespeare, Beckett) ； 最後一章介紹了理性主義/實在論科學哲學與當代科學研究之間最近的接觸或不接觸 (Microdynamics of Incommensurability: Philosophy of Science Meets Science Studies)。
如果期望數學哲學研究中最好的行動發生在所謂的數學理性的系譜和傳統構成的解釋之間。那將其歸類為系譜的論文的一個例子是 Andrew Pickering 的 “Concepts and the Mangle of Practice: Constructing Quarternions”（ pp 40-82 ），講述了 William Rowan Hamilton 在四元數 quaternions 方面的工作。一種實踐的家譜歷史往往喜歡把偶然性帶到中心舞台 —— 事情本來可以有很大不同。在這些歷史中非常引人注目的是 ，通常會討論實踐的早期階段。這給家譜學家帶來了一個優勢，即只需要研究少數具有所有特質的人。其基本思想是，如果在確定實踐過程時會有如此多的不同，那麼幾十年後事情也會有多麼不同。而且，如果我們能在故事後期發現方向發生了偏離最初先驅者意圖的急劇變化，那就更好了。大多數指導實踐的原始思維將被揭示為只是一個故事。當時有許多故事可能佔據主導地位，將數學引向截然不同的方向。
因此，在 Pickering 的論文中，隨著研究的步伐如此緩慢，我們可以詳細討論 Hamilton 獨特的形而上學觀點，並且我們可以講述四元數的故事，因為它 “隨著時間的推移而突變為現代物理學的核心矢量分析”。（ p 45 ）。Hamilton 未能實現他最初的目標，只是實現了 “計算與幾何的局部關聯，而不是全局關聯”。他在特定的代數係統和特定的幾何系統之間建立了一對一的對應關係，而不是代數和幾何之間的通用聯繫，被視為抽象的 、包羅萬象的實體”（ p 59 ）。四元數無法形成推理三維空間中的實體所需的微積分。即使 Hamilton 只考慮了虛部的乘法（兩條直線的乘積可以是一個普通數或另一個虛數 ），“……代數與幾何的聯繫仍然是局部的。例如，沒有當代物理理論談到三維空間中的實體遵守 Hamilton 的規則（ p 60 ）。“直到 1880 年代， Hamilton 去世後，Josiah Willard Gibbs 和 Oliver Heaviside 才奠定了矢量分析的基礎原理，將四元數系統分解為更有用的形式過程中的部分。四元數離域的關鍵時刻也是它們解體的時刻。”（ p 60 ） 。總的來說，讀者可能會由此認為，這就是四元數所關心的。
那麼，這篇論文以包含 1300 篇參考文獻的分析參考書目的形式記錄了近代物理學中四元數和聯合代數的使用，那麼我們該如何理解呢？投入如此多的工時來提取有關四元數的有用信息，以及它們與其他數學實體的關係，它們生命的最初幾十年是否能告訴我們很多東西？儘管它創造了引人入勝的歷史，但我們是否從個體的不切實際的追求中，而不是從成群結隊的工人的描述中，學到了數學在最高組織層面上運作的方式，而他們中的大多數人必然基本上不露面？
數學家為真理而奮鬥 —— 數學不是少數人的工作，而是一個人的工作，但涉及數萬人的全球協作努力。但是，如何書寫四元數應用的歷史，即數百人的工作？
不過，這裏還應該強調另一點。無論後古典理論對數學知識的基礎——尤其是哲學基礎——的批判多麼激進，它從來都不是簡單地否定那些使其從經典角度成為典範的數學方面。 如上所述，後經典理論與數學之間的關係，正如本書所代表的那樣，總體上是相當友好的。然而，這並沒有減弱當代對數學知識本質的批評的力量，也沒有減弱繼續引發這些批評的壓力。如果有的話，情況恰恰相反。因此，雖然 Brian Rotman 的文章中出現了對無限主義數學的形上學附屬物（即所有數學中的無限數字概念）的相當尖銳的質疑，但 John Vignaux Smyth 和 Arkady Plotnitsky 的貢獻表明，後經典理論和數學，包括無限主義數學不僅是兼容的，而且在其功能的某些領域甚至可能是彼此必要的 —— 例如，在科學和技術領域（如 Plotnitsky 的文章 (Complementarity, Idealization, and the Limits of Classical Conceptions of Reality) 所建議的），或者有時是相互作用的，在文學、藝術等領域，或作為一個整體的文化（正如 Smyth 所建議的那樣( A Glance at SunSet: Numerical Fundaments in Frege, Wittgenstein, Shakespeare, Beckett)）。
剛才描述的配置可以被視為後經典理論的一個關鍵特徵：也就是說，當熟悉的形上學假設受到挑戰時，它並不總是或必然是為了否認它們的相關性，而是表明該相關性的限製或相反假設的同時相關性。或者，我們可以說，這樣的假設（或者，嚴格地說，闡明它們的命題），恰恰是形上學的，是不可判定的。
在一篇實質性的介紹性文章 (Introduction: Networks and Symmetries, Decidable and Undecidable) 中，編輯們解釋了 “後經典理論 postclassical theory” 的概念，並討論了諸如湧現性 emergence 和不可判定性 undecidability 等思想在當前科學和數學工作中的意義。其他文章包括對數學思維、寫作和虛擬現實技術之間關係的詼諧考察 (Thinking Dia-Grams: Mathematics, Writing, and Virtual Reality) ；一篇文章重建了 19 世紀導致重大數學發現（或構造）的概念實踐 (Agency and the Hybrid Collectif)；討論 Niels Bohr 互補原理對經典實在觀念的影響；對作為人類和非人類 “混合 hybrid” 羣體的科學實驗室進行檢查 (Complementarity, Idealization, and the Limits of Classical Conceptions of Reality) ；對當代生物學中控制、目的和必要性隱喻的分析 (The Accidental Chordate: Contingency in Developmental Systems)； 對 Shakespeare、Frege、Wittgenstein 和 Beckett 的真理和謊言以及文字和數字的探索 (A Glance at SunSet: Numerical Fundaments in Frege, Wittgenstein, Shakespeare, Beckett) ； 最後一章介紹了理性主義/實在論科學哲學與當代科學研究之間最近的接觸或不接觸 (Microdynamics of Incommensurability: Philosophy of Science Meets Science Studies)。
如果期望數學哲學研究中最好的行動發生在所謂的數學理性的系譜和傳統構成的解釋之間。那將其歸類為系譜的論文的一個例子是 Andrew Pickering 的 “Concepts and the Mangle of Practice: Constructing Quarternions”（ pp 40-82 ），講述了 William Rowan Hamilton 在四元數 quaternions 方面的工作。一種實踐的家譜歷史往往喜歡把偶然性帶到中心舞台 —— 事情本來可以有很大不同。在這些歷史中非常引人注目的是 ，通常會討論實踐的早期階段。這給家譜學家帶來了一個優勢，即只需要研究少數具有所有特質的人。其基本思想是，如果在確定實踐過程時會有如此多的不同，那麼幾十年後事情也會有多麼不同。而且，如果我們能在故事後期發現方向發生了偏離最初先驅者意圖的急劇變化，那就更好了。大多數指導實踐的原始思維將被揭示為只是一個故事。當時有許多故事可能佔據主導地位，將數學引向截然不同的方向。
因此，在 Pickering 的論文中，隨著研究的步伐如此緩慢，我們可以詳細討論 Hamilton 獨特的形而上學觀點，並且我們可以講述四元數的故事，因為它 “隨著時間的推移而突變為現代物理學的核心矢量分析”。（ p 45 ）。Hamilton 未能實現他最初的目標，只是實現了 “計算與幾何的局部關聯，而不是全局關聯”。他在特定的代數係統和特定的幾何系統之間建立了一對一的對應關係，而不是代數和幾何之間的通用聯繫，被視為抽象的 、包羅萬象的實體”（ p 59 ）。四元數無法形成推理三維空間中的實體所需的微積分。即使 Hamilton 只考慮了虛部的乘法（兩條直線的乘積可以是一個普通數或另一個虛數 ），“……代數與幾何的聯繫仍然是局部的。例如，沒有當代物理理論談到三維空間中的實體遵守 Hamilton 的規則（ p 60 ）。“直到 1880 年代， Hamilton 去世後，Josiah Willard Gibbs 和 Oliver Heaviside 才奠定了矢量分析的基礎原理，將四元數系統分解為更有用的形式過程中的部分。四元數離域的關鍵時刻也是它們解體的時刻。”（ p 60 ） 。總的來說，讀者可能會由此認為，這就是四元數所關心的。
那麼，這篇論文以包含 1300 篇參考文獻的分析參考書目的形式記錄了近代物理學中四元數和聯合代數的使用，那麼我們該如何理解呢？投入如此多的工時來提取有關四元數的有用信息，以及它們與其他數學實體的關係，它們生命的最初幾十年是否能告訴我們很多東西？儘管它創造了引人入勝的歷史，但我們是否從個體的不切實際的追求中，而不是從成群結隊的工人的描述中，學到了數學在最高組織層面上運作的方式，而他們中的大多數人必然基本上不露面？
數學家為真理而奮鬥 —— 數學不是少數人的工作，而是一個人的工作，但涉及數萬人的全球協作努力。但是，如何書寫四元數應用的歷史，即數百人的工作？