Peter Turchin 用了整個第六章來講述他表面上的發現，即一些社會過程表現出邏輯增長（書中稱為自催化 autocatalytic）：首先快速增長，然後減速到最終穩定的漸近線。 所引用的例子雖然根本不是空間的，旨在支持空間過程的邏輯增長，但它們是 Richard Bulliet 關於中世紀時期伊朗家庭皈依伊斯蘭教的數據，Rodney Stark 估計的埃及基督徒比例，以及 Stark 估計的世界人口皈依摩門教的比例。 Turchin 充分利用了邏輯曲線與資料的擬合優度，但這對於有上限的成長過程來說很常見。 這讓人想起 20 年代，邏輯曲線的黃金時代，當時 Pearl 熱情地將相同的函數應用於他能找到的任何增長案例，從老鼠尾巴的長度到美國的人口普查數據 (Sharon E. Kingsland (1988), “Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology”)。Turchin 聲稱一些勝利（“當應用於現實的歷史資料集時，簡單的模型可以產生驚人準確的結果”( p 117 )），但讀者應該認識到這些勝利是膚淺的：大多數受約束的成長過程確實類似於邏輯，但這樣說並不能增加對歷史動態的理解。 例如，在皈依伊斯蘭教的情況下，基督教和猶太少數群體在伊斯蘭教下的當前和過去的立場都被廣泛誤解：伊斯蘭教只是逐漸取得進展，不僅是透過伊斯蘭教征服後數千年的皈依，而且還透過婚姻和人口增長差異。 曲線擬合常常是一種在兩個方面產生誤導的做法：它不僅不應被視為證明性的，而且還可能隱藏重要的細節。
Turchin 方法的核心是他明確地接受一個激烈爭論的問題：數學是否能勝任描述歷史的任務。 動力系統的學生很早就知道微分方程（將變數與其變化率聯繫起來的方程式）通常會帶來「有趣的行為」。 例如，考慮取決於時間 t 的兩個變數 x(t) 和 y(t)：如果 x(t) 的變化率是 y(t) 的函數，而 y(t) 的變化率是函數x(t )，則x(t) 和y(t) 在某些常見條件下可以表現出完美的循環行為。 為了解釋 “一維空間中的領土動態”（ p 64 ），Turchin 想像領土大小和團結透過一個基本相似的系統連結在一起。 然後他的任務是查看所聲稱的振盪是否與觀察相匹配，這是透過大量具有任意值的參數來實現的。 讓 x(t) 的速度取決於 y(t) 通常被稱為 “內生化 endogenization”，特別是在經濟學或生物數學中，Turchin 就是由此而來。 然而，“內生化” 充其量只是一種猜測，而最壞的情況則是反事實：研究一致表明，在歷史人口制度中，死亡率和生育率對實際薪資幾乎沒有依賴8但圖爾欽認為人口直接依賴 “國家資源 state resources”（ p 123 ）。 如果允許的話，“內生化” 可能成為徹底改變歷史的魔杖： “為了建立集體團結的科學理論，我們需要以某種方式內生化這個變量，即假設導致它因其他動態特性而增強或減弱的機制社會和政治的。 據我判斷，到目前為止，儘管科學文獻中散佈著許多暗示，但還沒有任何受人尊敬的社會學理論能夠做到這一點”（ p 37 ）。 在其他地方，生物學中常見生態模型的現象學合理性：關於物種的生存，通常的程序包括假設特定的相互作用、估計參數以及研究局部漸近穩定性或持久性並不是源自於物種生存的必要性。 可以反過來提出後一個問題 ：如果一個生物系統要使自身永存（或相反，要消失），那麼每次它自己必須屬於的整套方向是什麼？ 在滿足這些維持（或與滅絕相反）條件的過程中，只有一部分對應於“ 內生化” 過程； 另一部分是由不連續且不可預測的波動組成的。 然而，與生物系統相比，人類行為要複雜且微妙得多。 相信地區與社會團結之間或國家實力與人口成長之間的合理交互作用 ( p 122 ) 足以描述幾個世紀的人類歷史，這近乎傲慢。
人們可能希望像領土擴張這樣重大的問題能夠鼓勵人們在最終確定理論（無論是數學的還是非數學的）之前詳細研究歷史情況。 但事實似乎並非如此：Turchin 手裏拿著一把錘子（人口循環就像理論上的 LotkaVolterra 捕食者-獵物模型一樣），對他來說一切都是釘子。 沒有一個現代生物學家相信這些簡單的模型能夠準確地描述真實的族羣； 相反，實地觀察強調了它們的擬合程度有多差 (E. R. Pianka (2011), Evolutionary Ecology)。歷史人口數據也不支持週期。 人口歷史學家 Patrice Bourdelais (Epidemics Laid Low: A History of What Happened in Rich Countries) 特別反對觀察到的波動與機械循環有關的觀點：他表明這些波動是氣候、流行病、技術和資源綜合作用的結果。
總的來說，Turchin 的前提是，歷史學家可以從那些能夠處理微分方程組的人身上學到很多東西。 即使循環理論的應用引起質疑，但這並不代表所有數學模型都同樣無用。 動力系統理論比應用產生循環的方程式可以為歷史帶來更多的東西。 幾個與週期無關的歷史人口波動的例子。 二十世紀初，Henri Poincaré 認識到大多數微分方程系統都是棘手的，因此設計了狀態空間分析。 對 1930 年以來西方國家生育率的狀態空間分析表明 ，生育率不是一個循環，而是從一種行為規範轉向另一種行為規範（例如，在法國，嬰兒潮時期每個婦女生三個孩子，從 1970 年代以來每個婦女生兩個孩子）在給定標準或製度下的暫時停滯的持續時間不是像週期那樣提前確定的； 歷史不再被視為可預測場景的展開。 相反，狀態空間分析可以修復斷裂的線索、從一種政權突然切換到另一個政權、暫時的停滯、不連續性、意外的未來。
在 17 世紀的諾曼第，出生時的預期壽命平均不超過 27 歲，但在 10 歲到 45 歲之間波動 。生育率也波動很大且不規則。生育率的狀態空間分析再次表明，生育率沒有週期 ，而是存在低生育率和高生育率水平，並且生育率在年齡結構、獲得土地的機會和流行病發生率的具體組合方面在這兩種生育率之間振盪：例如，到十七世紀中期，四十年來沒有出現過死亡危機，因此已婚婦女人口相對老化，相應的生育率也較低。 未婚女性的數量仍然足夠多，因此婚姻能夠很快從 1638 年至 1639 年可怕的瘟疫中恢復過來。 在隨後的 1651 年和 1670 年瘟疫之後，情況不再如此，當時死者必須由年輕夫婦代替。 隨後，生育率被推至較高水平，並透過連續的死亡危機（例如 1693 年至 1694 年的大饑荒）得以維持。 儘管生育率波動幅度較大，但不存在週期。
歷史和人類歷史固有的困難在於思考人類時間。 在先前的人口制度中，時間上的不規則性反映了小社區在嚴酷的死亡率條件下延續自身的能力（或無能力），直到現代的嬰兒潮和蕭條時期，似乎更廣泛的歷史人口運動的特徵是從不連續的跳躍從一種制度到另一種制度，而不是循環。 隨時間變化的人口模式的原因肯定更多地是由不確定性和人類機構決定的，而不是由模型方程中嚴格且不變的內生性決定的。
因此，Turchin 對學術的無意貢獻是提出了微分學對歷史有多合適的關鍵問題。 我們會更喜歡模型的漫畫而不是紮實的「口頭」討論嗎？ 模擬的一項特定產出帶來什麼證據價值？ 當模擬與觀察到的數據相當吻合時，明智的做法是想知道參數的數量和重要性使其成為可能的程度。 然而，動態系統的數學理論不應該被簡化為這種嘗試。只要我們承認 社會事務和人類時間的複雜性，它就有為歷史做出貢獻的巨大潛力。
Turchin 方法的核心是他明確地接受一個激烈爭論的問題：數學是否能勝任描述歷史的任務。 動力系統的學生很早就知道微分方程（將變數與其變化率聯繫起來的方程式）通常會帶來「有趣的行為」。 例如，考慮取決於時間 t 的兩個變數 x(t) 和 y(t)：如果 x(t) 的變化率是 y(t) 的函數，而 y(t) 的變化率是函數x(t )，則x(t) 和y(t) 在某些常見條件下可以表現出完美的循環行為。 為了解釋 “一維空間中的領土動態”（ p 64 ），Turchin 想像領土大小和團結透過一個基本相似的系統連結在一起。 然後他的任務是查看所聲稱的振盪是否與觀察相匹配，這是透過大量具有任意值的參數來實現的。 讓 x(t) 的速度取決於 y(t) 通常被稱為 “內生化 endogenization”，特別是在經濟學或生物數學中，Turchin 就是由此而來。 然而，“內生化” 充其量只是一種猜測，而最壞的情況則是反事實：研究一致表明，在歷史人口制度中，死亡率和生育率對實際薪資幾乎沒有依賴8但圖爾欽認為人口直接依賴 “國家資源 state resources”（ p 123 ）。 如果允許的話，“內生化” 可能成為徹底改變歷史的魔杖： “為了建立集體團結的科學理論，我們需要以某種方式內生化這個變量，即假設導致它因其他動態特性而增強或減弱的機制社會和政治的。 據我判斷，到目前為止，儘管科學文獻中散佈著許多暗示，但還沒有任何受人尊敬的社會學理論能夠做到這一點”（ p 37 ）。 在其他地方，生物學中常見生態模型的現象學合理性：關於物種的生存，通常的程序包括假設特定的相互作用、估計參數以及研究局部漸近穩定性或持久性並不是源自於物種生存的必要性。 可以反過來提出後一個問題 ：如果一個生物系統要使自身永存（或相反，要消失），那麼每次它自己必須屬於的整套方向是什麼？ 在滿足這些維持（或與滅絕相反）條件的過程中，只有一部分對應於“ 內生化” 過程； 另一部分是由不連續且不可預測的波動組成的。 然而，與生物系統相比，人類行為要複雜且微妙得多。 相信地區與社會團結之間或國家實力與人口成長之間的合理交互作用 ( p 122 ) 足以描述幾個世紀的人類歷史，這近乎傲慢。
人們可能希望像領土擴張這樣重大的問題能夠鼓勵人們在最終確定理論（無論是數學的還是非數學的）之前詳細研究歷史情況。 但事實似乎並非如此：Turchin 手裏拿著一把錘子（人口循環就像理論上的 LotkaVolterra 捕食者-獵物模型一樣），對他來說一切都是釘子。 沒有一個現代生物學家相信這些簡單的模型能夠準確地描述真實的族羣； 相反，實地觀察強調了它們的擬合程度有多差 (E. R. Pianka (2011), Evolutionary Ecology)。歷史人口數據也不支持週期。 人口歷史學家 Patrice Bourdelais (Epidemics Laid Low: A History of What Happened in Rich Countries) 特別反對觀察到的波動與機械循環有關的觀點：他表明這些波動是氣候、流行病、技術和資源綜合作用的結果。
總的來說，Turchin 的前提是，歷史學家可以從那些能夠處理微分方程組的人身上學到很多東西。 即使循環理論的應用引起質疑，但這並不代表所有數學模型都同樣無用。 動力系統理論比應用產生循環的方程式可以為歷史帶來更多的東西。 幾個與週期無關的歷史人口波動的例子。 二十世紀初，Henri Poincaré 認識到大多數微分方程系統都是棘手的，因此設計了狀態空間分析。 對 1930 年以來西方國家生育率的狀態空間分析表明 ，生育率不是一個循環，而是從一種行為規範轉向另一種行為規範（例如，在法國，嬰兒潮時期每個婦女生三個孩子，從 1970 年代以來每個婦女生兩個孩子）在給定標準或製度下的暫時停滯的持續時間不是像週期那樣提前確定的； 歷史不再被視為可預測場景的展開。 相反，狀態空間分析可以修復斷裂的線索、從一種政權突然切換到另一個政權、暫時的停滯、不連續性、意外的未來。
在 17 世紀的諾曼第，出生時的預期壽命平均不超過 27 歲，但在 10 歲到 45 歲之間波動 。生育率也波動很大且不規則。生育率的狀態空間分析再次表明，生育率沒有週期 ，而是存在低生育率和高生育率水平，並且生育率在年齡結構、獲得土地的機會和流行病發生率的具體組合方面在這兩種生育率之間振盪：例如，到十七世紀中期，四十年來沒有出現過死亡危機，因此已婚婦女人口相對老化，相應的生育率也較低。 未婚女性的數量仍然足夠多，因此婚姻能夠很快從 1638 年至 1639 年可怕的瘟疫中恢復過來。 在隨後的 1651 年和 1670 年瘟疫之後，情況不再如此，當時死者必須由年輕夫婦代替。 隨後，生育率被推至較高水平，並透過連續的死亡危機（例如 1693 年至 1694 年的大饑荒）得以維持。 儘管生育率波動幅度較大，但不存在週期。
歷史和人類歷史固有的困難在於思考人類時間。 在先前的人口制度中，時間上的不規則性反映了小社區在嚴酷的死亡率條件下延續自身的能力（或無能力），直到現代的嬰兒潮和蕭條時期，似乎更廣泛的歷史人口運動的特徵是從不連續的跳躍從一種制度到另一種制度，而不是循環。 隨時間變化的人口模式的原因肯定更多地是由不確定性和人類機構決定的，而不是由模型方程中嚴格且不變的內生性決定的。
因此，Turchin 對學術的無意貢獻是提出了微分學對歷史有多合適的關鍵問題。 我們會更喜歡模型的漫畫而不是紮實的「口頭」討論嗎？ 模擬的一項特定產出帶來什麼證據價值？ 當模擬與觀察到的數據相當吻合時，明智的做法是想知道參數的數量和重要性使其成為可能的程度。 然而，動態系統的數學理論不應該被簡化為這種嘗試。只要我們承認 社會事務和人類時間的複雜性，它就有為歷史做出貢獻的巨大潛力。